A matemática "infinita" do Xadrez
Muito se fala sobre a quantidade "infinita" de lances que podem ser feitos no xadrez.
Alguns dizem que um bom jogador consegue calcular lances à frente, enquanto um ótimo jogador considera a probabilidade dessas variantes até encontrar o cálculo ideal, ou seja, o melhor lance. Mas o que seriam esses cálculos na prática?
Esses cálculos são as possibilidades de posições no xadrez a cada lance. Em 1950, o matemático Claude Shannon calculou que existem aproximadamente 10¹²⁰ partidas possíveis. Para você ter uma ideia de comparação com a nossa realidade, estudos dizem que é possível visualizar cerca de 8.500 estrelas a olho nu em todo o céu sob condições ideais.
O Número de Shannon
O Número de Shannon é uma estimativa do total de partidas possíveis no xadrez. Ele não calculou todas as jogadas uma por uma, mas usou uma média matemática baseada na estrutura do jogo.
Vamos ao passo a passo do raciocínio de Shannon:
- Média de lances por turno: Ele determinou que, em média, um jogador tem cerca de 30 lances legais possíveis para escolher em cada turno. O Branco tem 30 opções e o Preto responde com mais 30 opções. Isso significa que uma única rodada completa (um lance de cada cor) gera 30 × 30 = 900 ramificações no tabuleiro.
- A duração média de uma partida: Para o cálculo, Shannon estimou que uma partida típica de xadrez dura cerca de 40 rodadas completas (ou seja, 80 lances individuais).
- A árvore de possibilidades: Multiplicando as opções de cada rodada ao longo de todo o jogo, a matemática aplicada é uma potência. Multiplica-se o número de opções por si mesmo 80 vezes: 30⁸⁰. O resultado exato dessa equação é aproximadamente 1,4 × 10¹¹⁸. Shannon arredondou esse valor para 10¹²⁰ para simplificar o conceito.
É muito até para a gente conseguir processar, né? Porém, o estudo de Shannon também considerava posições bizarras que nós humanos (inclusive nós, capivaras!) nunca faríamos. Por exemplo: colocar um rei colado ao lado do outro não é uma ideia possível pelas regras. Pensando nisso, Shannon estimou por cima que, tirando os absurdos, existiriam cerca de 10⁴³ posições possíveis no tabuleiro.
O Refinamento de Victor Allis
Com o passar do tempo, matemáticos decidiram refinar esse cálculo. Em 1994, em sua tese de doutorado "Searching for Solutions in Games and Artificial Intelligence", o matemático Victor Allis aplicou regras rígidas de cálculo combinatório focando apenas em restrições legais (como o movimento real dos peões e a impossibilidade dos reis se tocarem). Com isso, ele determinou que o teto máximo absoluto de posições no xadrez não passaria de 5 × 10⁵², estimando que o número real estaria por volta de 10⁵⁰.
A Era dos Supercomputadores e o Número Definitivo
Inspirada no avanço genial de Victor Allis, veio a era dos supercomputadores para cravar esse cálculo de vez. Tivemos marcos históricos como o Deep Blue derrotando Kasparov em 1997, mas o grande xeque-mate matemático veio mais tarde com o programador John Tromp.
Utilizando o poder de processamento moderno, Tromp fez o que Allis havia estimado e encontrou o número exato de posições legais do xadrez, chegando ao número definitivo de 4,8 × 10⁴⁴ posições.
Para chegar lá, ele utilizou três pilares fundamentais:
- Criando um superconjunto simplificado: Desenvolveu um código que gerava apenas tabuleiros que respeitavam as regras básicas do xadrez (como o número máximo de peças e peões fora das bordas).
- A técnica da "Bijeção" (Mapeamento): Tecnicamente, em vez de salvar imagens de tabuleiros que pesariam demais, ele transformava cada arranjo de peças em um número de ID único. Isso permitiu ao computador processar os dados de forma infinitamente mais rápida.
- O grande final (Amostragem de Monte Carlo): Através dessa técnica estatística, o computador testou bilhões de posições para filtrar jogadas "semi-legais" ocultas — como, por exemplo, um peão branco que aparece atrás de seus próprios peões sem que nenhuma peça inimiga tenha sido capturada para ele mudar de coluna.
Graças a essa união entre a matemática pura e o poder dos computadores, hoje sabemos exatamente o tamanho do universo do xadrez!
Sabemos que, para além de estrelas vivas, nós também observamos estrelas mortas no céu — ou, trazendo para o tabuleiro, "jogadas ruins".
A grande sacada é que essas jogadas ruins podem (e devem) ser descartadas. É exatamente assim que os supercomputadores modernos funcionam: eles calculam as melhores jogadas sem precisar passar por todas as 4,8 × 10⁴⁴ posições.
Através de algoritmos inteligentes, os motores de xadrez simplesmente "podam" os galhos das jogadas ruins e focam o processamento apenas nos caminhos que levam a posições vencedoras. No fim das contas, tanto na astronomia quanto no xadrez, o segredo está em saber filtrar a luz do que realmente importa em meio à imensidão.
Mas isso é história para outro post, se gostaram desse. E você? Quantas jogadas à frente consegue calcular antes de cometer uma 'capivarada'? Deixe seu comentário aqui embaixo! Fontes:
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